본 포스트는 "이득우의 게임 수학"을 읽고 정리한 내용입니다
이득우의 게임 수학 - https://www.onlybook.co.kr/entry/gamemath
수와 집합
집합 : 서로 구분되는 원소로 구성된 묶음 → 소박한 집합론
소박한 집합론은 용도에 따라 수집합을 정의해서 구분한다
ex) 자연수, 정수, 유리수, 실수, 복소수, 사원수 등 …
but, 소박한 집합론은 인간의 언어로 집합을 정의하기 때문에 보편적인 관념에 의존할 수 밖에 없다
그러나 우리는 앞으로 수가 가지는 특징을 분석하고, 이를 확장해 가상 공간이라는 고차원의 세계를 만들 것이기 때문에 집합의 성질을 참과 거짓으로 명확하게 구분해 줄 수 있는 명제가 필요하다
명제 중에서는 증명할 필요가 없는 기본 명제를 공리라고 한다
→ 이 공리를 기반으로 대상을 구분하는 집합론이 공리적 집합론
⇒ 수가 가지는 연산에 대한 공리를 기반으로 수를 분류함 즉, 수집합이 가지고 있는 연산의 성질을 알 수 있다
연산과 수의 구조
수집합의 고유한 특징은 원소를 이용해 연산을 한다는 것!
대표적인 것이 사칙 연산 (이항연산 이라고도 한다) → 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈이 해당
이항 연산의 개념
두 개의 원소를 사용해 새로운 원소를 만들어낸다
이항 연산의 특징
이항연산이 가지는 특징 1) 닫혀 있음
같은 집합에 속한 두 수를 투입한 이항 연산의 결과가 항상 투입한 집합에 속한다면, 그 이항연산은 해당 집합에 대해 닫혀 있다
이를 풀어서 설명하자면…
- 집합 S에서 두 원소 a와 b를 선택한다
- 이항 연산 *를 적용해 a * b를 계산한다
- 결과로 생성된 a * b가 항상 S에 속한다면, S는 *에 대해 닫혀 있다
정리하자면,
어떤 이항 연산이 닫혀 있다는 것은, 집합의 두 원소에 이항 연산을 적용했을 때, 결과가 항상 그 집합에 속한다는 것!
ex) 자연수 집합은 덧셈에 대해 닫혀있다. 그러나 뺄셈에 대해서는 닫혀있지 않다
이항연산이 가지는 특징 2) 3가지 성질 - 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙
이항 연산은 3가지 성질을 지닌다
1️⃣ 교환법칙
: 임의의 두 수 a와 b를 연산할 때, 순서와 관계 없이 항상 동일한 결과가 나오는 성질
a + b = b + a
a * b = b * a
2️⃣ 결합법칙
: 연산이 두 번 이상 연속될 때, 앞의 연산을 먼저 계산한 결과와 뒤의 연산을 계산한 결과가 같은 성질을 의미
(a + b) + c = a + (b + c)
(a * b) * c = a * (b * c)
3️⃣ 분배법칙
: 서로 다른 2가지 연산에 대해 다음의 규칙이 성립되는 것
// 좌분배법칙
a * (b + c) = a * b + a * c
// 우분배법칙
(b + c) * a = b * a + c * a
→ 좌분배법칙, 우분배법칙 이 두 가지를 모두 만족하면 분배법칙을 만족하는 것이다
이항연산이 가지는 특징 3) 항등원과 역원
- 항등원 (Identity) : 임의의 수와의 연산 결과를 항상 동일한 수로 만들어주는 특별한 수
a + 0 = a // 덧셈의 항등원은 0
a * 1 = a // 곱셈의 항등원은 1
- 역원 (Inverse) : 임의의 수와의 연산 결과를 항상 항등원으로 만들어주는 특별한 수
a + (-a) = 0 // 덧셈의 항등원은 반대수(Opposite number)
a * (1/a) = 1 // 곱셈의 항등원은 역수(Reciprocal) (단, 0의 곱셈 역원은 없다)
💡 지금까지 알아본 이항연산의 성질을 정리해보자
- 닫혀 있음 : 어떤 집합에서 두 원소를 사용한 이항연산의 결과가 항상 그 집합에 속하는 성질
- 교환법칙 : 두 원소의 좌우 순서를 바꿔도 결과가 동일한 성질
- 결합법칙 : 세 원소의 연산 순서를 바꿔도 결과가 동일한 성질
- 분배법칙 : 두 이항연산에 대해 a * (b + c) = a * b + a * c 와 (b + c) * a = b * a + c * a 의 결과가 나오는 성질
- 항등원 : 주어진 원소와의 이항연산 결과가 언제나 주어진 원소가 되는 특별한 원소.
실수에서 덧셈의 항등원은 0, 곱셈의 항등원은 1이다
- 역원 : 주어진 원소와의 이항연산 결과가 언제나 항등원이 되는 특별한 원소.
실수에서 덧셈의 역원은 반대수, 곱셈의 역원은 역수라고 부른다
수의 구조
덧셈과 곱셈 연산에 대해 다음 11가지 공리를 모두 만족하는 수 집합 → 유리수(Q), 실수(N)
✍️ 첫번째 연산 A, 두번째 연산 B이 있다고 가정했을 때,
1. A에 대해 닫혀있다
2. A에 대해 결합법칙이 성립한다
3. A에 대한 항등원이 존재한다
4. A에 대한 역원이 존재한다
5. A에 대해 교환법칙이 성립한다
6. B에 대해 닫혀있다
7. B에 대해 결합법칙이 성립한다
8. A와 B에 대해 분배법칙이 성립한다
9. B에 대해 교환법칙이 성립한다
10. B에 대해 항등원이 존재한다
11. B에 대해 역원이 존재한다 (0은 제외)
- 이때 자연수(N)은 이 공리를 모두 만족하지 못하는데, 자연수 집합의 원소 a에 대한 덧셈의 역원은 -a 이고, 이는 자연수가 아니기 때문에 11번의 공리를 만족하지 못한다
- 이때 정수(Z)는 이 공리를 모두 만족하지 못하는데, 정수 집합의 원소 a에 대한 곱셈의 역원은 1/a이고, 이는 정수가 아니기 때문에 11번의 공리를 만족하지 못한다
공리적 집합론에서 두 연산에 대해 1번부터 11번까지의 공리를 모두 만족하는 수 집합은 체의 구조를 지닌다고 표현한다
✍️ 여기서 체(field)는 두 가지 이항 연산이 정의된 집합으로, 이 두 연산은 덧셈과 곱셈이다
체는 다음과 같은 성질을 만족해야 한다
1. 덧셈에 대한 성질
- 닫힘 (1, 6)
- 결합법칙 (2, 7)
- 덧셈의 항등원 (3, 10)
- 덧셈의 역원 (4, 11)
- 교환법칙 (5, 9)
2. 곱셈에 대한 성질
- 닫힘 (1, 6)
- 결합법칙 (2, 7)
- 곱셈의 항등원 (3, 10)
- 덧셈의 역원 (4, 11)
- 교환법칙 (5, 9)
3. 분배법칙 (8)
이런 체의 구조를 가지는 수 집합은 유리수(Q)와 실수(R)가 해당되는데,
이들은 특별한 예외 상황 없이 덧셈과 곱셈을 안전하고 자유롭게 사용할 수 있다고 볼 수 있다
따라서 앞으로 우리는 특정한 수 집합을 지정해 사용하는 것이 아니라, 체의 구조를 기반으로 체계를 확장해 공간의 구조를 생성하고, 그 안에 콘텐츠를 담는 가상 세계를 구축하는 것!
그렇다면 왜 나머지 연산인 뺼셈과 나눗셈의 경우는 제외했을까?
→ 뺄셈 대신 덧셈의 역원을, 나눗셈 대신 곱셈의 역원을 사용하면 되기 때문에
따라서 수 집합의 구조를 분석할 때는 덧셈과 곱셈의 두 가지 연산에 대해서만 살펴보는 것으로 충분하다
정리하자면, 체는 사칙 연산이 자유롭게 시행될 수 있고 산술의 잘 알려진 규칙들을 만족하는 수의 구조!
수의 표현
이런 체의 구조를 갖는 수 중 실수(R)를 사용해 덧셈과 곱셈 연산을 시각화 해보자
왜 실수일까?
직선 상에 유리수(Q)의 원소를 모두 순서대로 나열하는 상황을 가정해보면, 유리수는 π나 루트같은 무리수를 표현할 수 없기 때문에, 직선의 어느 지점에서는 빈틈이 발생할 것이다
→ 이러한 빈틈을 무리수로 채워, 완벽한 연속성을 가지는 직선을 만들어내는 수가 실수(R)다
실수를 대응시켜 표현한 직선을 수직선(Number line)이라고 한다
수직선을 활용한 수의 표현
- 실수의 모든 원소는 수직선 상에 자신의 고유한 위치를 가질 수 있다
- (더 큰 수는 오른쪽에, 작은 수는 왼쪽에)
- 수직선은 0을 기준으로 양수와 음수라는 두 개의 체계가 서로 대칭되어 있다
- 수가 지니는 방향의 속성은 부호를 사용해 나타내며, 크기의 속성은 원점으로부터의 거리다
- 하나의 수를 원점에서부터 크기와 방향을 가진 화살표로도 표시할 수 있다
→ 절대값 : 어떤 수의 원점으로부터의 거리만을 나타낸 수
ex) |2| = 2 |-2| = 2
이를 활용해 물체에 힘을 가해 이동하거나, 크기를 늘리는 작업은 덧셈과 곱셈 연산으로 해석할 수 있다
이항연산에서
- 왼쪽 항의 수 : 물체를 구성하는 점
- 오른쪽 항의 수 : 점을 이동시키는 힘
의 관점으로 보면,
덧셈 연산은 점을 평행이동시키는 작업으로 해석할 수 있다
어떤 수 a가 있다고 가정했을 때,
a + 5는 수의 위치를 오른쪽 방향으로 5칸만큼 이동시키는 작업,
a + (-2)는 수의 위치를 왼쪽 방향으로 2칸만큼 이동시키는 작업이다
곱셈 연산은 점을 지정된 배율만큼 늘리고 대칭시키는 작업으로 해석할 수 있다
마찬가지로 어떤 수 a가 있다고 가정했을 때,
a * 2는 원점으로부터 거리를 같은 방향으로 2배 키우는 작업,
a * (-3)은 원점으로부터 거리를 3배로 늘린 후, 반대쪽으로 대칭시키는 작업이다
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