본 포스트는 "이득우의 게임 수학"을 읽고 정리한 내용입니다
이득우의 게임 수학 - https://www.onlybook.co.kr/entry/gamemath
함수
함수 (Function)
: 두 집합에서, 첫 번째 집합의 모든 원소가 빠짐없이 두 번째 집합의 어떤 원소에 대응하는 관계
함수의 개념과 종류
두 집합을 X, Y로 지칭하고,
집합 X의 원소를 x, 집합 Y의 원소를 y라고 할 때,
X에서 Y로 대응되는 함수를 다음과 같이 나타낼 수 있다
$$ y=f(x) $$
함수로 인정받기 위해서는 다음 두 규칙이 성립해야 한다
- 첫 번째 집합의 모든 원소에 대한 대응 관계가 존재해야 한다
- 첫 번째 집합의 원소는 두 번째 집합의 한 원소에만 대응되어야 한다
이렇게 두 집합이 각각 가져야 하는 조건이 다르므로, 함수에서 정의된 용어를 사용한다
- 정의역(Domain) : 왼쪽에 위치한 첫번째 집합 X
- 공역(Codomain) : 오른쪽에 위치한 두번째 집합 Y
✍️ 함수 용어를 사용해 함수에 대한 규칙을 다시 말해보자면..
- 정의역의 모든 원소는 공역의 원소에 대응되어야 한다
- 정의역의 원소는 공역의 한 원소에만 대응되어야 한다
이때, 공역의 모든 원소가 정의역과 대응할 필요는 없다
→ 따라서 정의역에 대응되는 공역의 원소만 따로 모아 부분집합(Subset)을 형성할 수 있다
이를 치역(Range)라고 부른다
- 함수에 사용하는 정의역의 요소를 입력(Input)으로,
- 입력에 대응하는 공역의 요소를 출력(Output)으로도 표현하기도 한다
정의역과 공역이 서로 대응되는 형태에 따라 함수를 여러 종류로 구분할 수 있다
여러 종류의 함수
🟦 전사함수(Surjection)
- 공역의 모든 요소가 정의역에 대응되는 함수
- $f : X→Y$에서 $f$의 치역인 $f(X)$가 공역인 $Y$와 일치하는 함수, 즉 $f(X) = Y$인 함수
- 위로의 함수(Onto)라고도 부른다
🟦 단사함수(Injection)
- 정의역과 공역의 요소가 일대일로 대응되는 함수
- 치역의 원소 $y$에 대하여 $f(x)=y$인 정의역의 원소 $x$가 유일하게 존재하는 함수
- 일대일 함수(One-to-One)라고도 부른다
🟦 전단사함수(Bijection)
- 정의역과 공역의 모든 요소가 빠짐없이 일대일로 대응되는 함수
- $f : X→Y$에서 모든 $y$에 대해 $f(x) = y$를 만족하는 $x$가 유일한 전사함수
- 일대일 대응(One-to-One and Onto)이라고도 부른다
합성함수
함수의 대응 관계를 확장해, 다수 집합의 대응 관계로도 발전시킬 수 있다
→ 합성(Function Composition) : 2개의 함수를 연쇄적으로 이어서 하나의 함수로 만드는 연산
예시 1️⃣) 함수 $f(x)$와 함수 $g(y)$를 연쇄적으로 만든 함성함수
즉, 3개의 집합과 2개의 함수로 구성된 대응관계를 합성함수로 구현
중간에 위치한 집합 Y를 생략하고 집합 X와 Z의 직접적인 대응관계로 표현할 수 있다
→ $g∘f$ 혹은 $g(f(x))$로 표현 가능
📌 ∘ 는 합성함수를 나타내는 기호로,
먼저 실행되는 함수 $f$가 합성함수 기호의 오른쪽에 놓인다
g 써클 f 로 부르거나, g 애프터 f 라고 부른다
예시 2️⃣ ) 함수 $f(w)$, $g(x)$, $h(y)$를 연쇄적으로 만든 합성함수
즉, 4개의 집합과 3개의 함수로 구성된 대응관계를 합성함수로 구현
$f(w)$, $g(x)$, $h(y)$로 만들 수 있는 두 합성함수에 대한 경우의 수를 나누자면
경우 1) $(g∘f)(w)$ 와 $h(y)$
경우 2) $f(w)$와 $(h∘g)(x)$
로 생각할 수 있다
그리고 두 합성함수와 남은 함수가 다시 합성하는 경우, 결국 동일한 대응 관계를 가지게 된다
즉, 합성함수는 결합법칙이 성립함을 알 수 있다
항등함수와 역함수
🟦 항등함수 (Identify Function) : 정의역과 공역이 동일한 값으로 대응되는 함수
- $id$로 표기
- 항등함수는 연산의 항등원과 동일한 역할을 수행한다
- 합성함수에 포함되어 있을 때, 어느 위치에 있든지 합성의 결과는 원 함수와 동일한 대응관계다
🟦 역함수(Inverse Function) : 어떤 함수와 합성한 결과가 항등함수가 되도록 만드는 함수
- $f^{-1}$로 표기
- 역함수는 연산의 역원과 동일한 역할을 수행한다
- 합성함수의 대응 결과가 항등함수가 되도록 만드는 함수를 일컫는다
- 두 집합의 대응 관계를 뒤집어, 공역 Y에서 정의역 X로 대응하는 함수로도 생각할 수 있다
- → $x = f^{-1}(y)$
- ⭐ 모든 함수가 역함수를 갖지는 않고, 전단사함수의 형태가 되어야 한다
- 전사함수 : 하나의 원소가 두 개의 원소에 대응할 수 있어 만족 X
- 단사함수 : 정의역의 모든 원소가 대응하지 않을 수 있어 만족 X
- 전단사함수 : 모든 경우에서 함수의 조건을 만족하기 때문에 역함수가 보장된다
항등함수와 역함수의 관계를 수식으로 나타내면 다음과 같다
$$ f^{-1}∘f = id $$
$$ f∘f^{-1} = id $$
나아가 합성함수의 역함수가 가지는 성질을 정리하면 다음과 같다
$$ (g∘f)^{-1} = f^{-1}∘g^{-1} $$
곱집합을 활용한 좌표 평면으로의 확장
곱집합(Cartesian product, Product Set)
: 두 집합의 원소를 순서쌍으로 묶은 원소의 집합
📌 두 집합 A, B가 있고, 각 집합에 속한 원소를 a, b라고 했을 때
집합 A와 B의 곱집합을 표현→ $A \times B$
곱집합의 요소는 각 집합의 원소 a와 b를 순서쌍으로 묶어 표현 → $(a, b)$
곱집합의 특징
1️⃣ 곱집합의 개념은 이항연산 개념 설명에 사용 가능
두 실수 집합의 곱집합 $R \times R$을 구성 → 이를 정의역으로 설정해
⇒ 입력 요소를 2개로 설정하는, 수의 이항 연산을 함수로 표현 가능
2️⃣ 집합을 서로 수직으로 배치하는 곱집합의 성질을 응용해 평면으로 표현 가능
하나의 직선으로 표현한 실수 집합 R을 확장해,
두 실수 집합의 곱집합 $R \times R$을 평면으로 나타낼 수 있다
그리고 두 실수 집합의 곱집합으로 형성된 평면에, 다시 실수 집합을 곱집합으로 설정 → 3차원 공간!
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